高中数学：奇函数、偶函数和函数奇偶性知识点总结大全
一般地，除了既是奇函数又是偶函数的函数（如：y=0，x∈R）外，中学数学里常见的奇函数与偶函数的加、减、乘、除后的奇偶性，可简单地表示如下：
（1）奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数，奇函数±偶函数=非奇非偶函数，偶函数±奇函数=非奇非偶函数；
【注】上面的性质特点可以简单地概括为：“同性”加减，奇偶不变；“异性”加减，非奇非偶。
（2）奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，偶函数×奇函数=奇函数；
【注】上面的性质特点可以简单地概括为：“同”乘为“偶”，“异”乘为“奇”。
（3）奇函数÷奇函数=奇函数/奇函数=偶函数，偶函数÷偶函数=偶函数/偶函数=偶函数，奇函数÷偶函数=奇函数/偶函数=奇函数，偶函数÷奇函数=偶函数/奇函数=奇函数
【注】上面的性质特点可以简单概括为：“同”除为“偶”，“异”除为“奇”。
需要注意的是，上面的各个性质等式中，必须保证左边的两个函数的定义域的交集不是空集。因为如果两个具有奇偶性的函数的定义域的交集为空集，则不论它们二者作何种运算后的函数的定义域都是空集，不满足函数的定义域“非空”，讨论其结果的奇偶性也就毫无意义了。
【知识补充】
一、奇函数、偶函数的概念
1、奇函数：假如一个函数f(x)的定义域关于原点对称，并且对于定义域中的任意x都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数。
2、偶函数：假如一个函数g(x)的定义域关于原点对称，并且对于定义域中的任意x都有g(-x)=g(x),则称函数g(x)为偶函数。
【注意】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
二、奇函数、偶函数的图像特点
1、奇函数图象关于原点对称。奇函数的图象，是个以原点为对称中心的中心对称图象。
2、偶函数图象关于y轴对称。偶函数的图象，是个以y轴为对称轴的轴对称图象。
3、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
4、如果奇函数f(x)的定义域中有“0”，则一定有f(0)=0。因此，如果一个奇函数的定义域中有“0”，则这个奇函数的函数图象一定过原点。
5、如果偶函数g(x)的定义域中有“0”，则g(0)不一定为0。因此，如果一个偶函数的定义域中有“0”，则这个偶函数的函数图象不一定过原点。
6、偶函数在对称区间上的值域相同，奇函数在对称区间上的值域关于原点对称。
三、奇函数、偶函数的判定
假设函数f(x)、g(x)的定义域都关于原点对称。则
1、f(x)是奇函数的几个充要条件为：
（1）对定义域中的任意x都有：f(-x)=-f(x);
（2）对定义域中的任意x都有：f(x)+f(-x)=0;
（3）对定义域中的任意x都有：f(-x)/f(x)=-1;【注】分母不为0.
（4）对定义域中的任意x都有：f(x)/f(-x)=-1;【注】分母不为0.
（5）f(x)的函数图象关于原点对称。
2、g(x)是偶函数的几个充要条件为：
（1）对定义域中的任意x都有：g(-x)=g(x);
（2）对定义域中的任意x都有：g(x)-g(-x)=0;
（3）对定义域中的任意x都有：g(-x)/g(x)=1;【注】分母不为0.
（4）对定义域中的任意x都有：g(x)/g(-x)=1;【注】分母不为0.
（5）g(x)的函数图象关于y轴对称。
四、函数按奇偶性的分类
所有函数照奇偶性分类可以分成四类，分别是：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
常见的“奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数”举例如下。
1、常见的奇函数
（1）次数为奇数的幂函数：y=x^(2n-1)，n为整数。例：y=x，y=x^(-1)=1/x，
（2）正弦函数和正切函数：y=sinx，y=tanx。
（3）设函数f(x)的定义域关于原点对称，则g(x)=[f(x)-f(-x)]/2为奇函数。
【注】因为g(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-g(x)。
2、常见的偶函数
（1）常函数：y=c（c为常数）。
（2）次数为偶数的幂函数：y=x^(2n)，n为整数。例：y=x^2，y=x^(-2)。
（3）余弦函数及某些三角函数的变形：y=cosx，y=|sinx|，y=|cosx|，y=sin|x|。
（4）特殊的分段函数：y=|x|。
（5）设函数f(x)的定义域关于原点对称，则g(x)=[f(x)+f(-x)]/2为偶函数。
【注】因为g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=[f(x)+f(-x)]/2=g(x)。
3、常见的既是奇函数又是偶函数的函数
y=0（定义域关于原点对称）。例：1、y=0，x∈R；2、y=0，x∈(-1,1)等。
【注】高中数学里，“y=0”是唯一的一个“既是奇函数又是偶函数的”函数解析式形式。
4、常见的非奇非偶函数
（1）奇函数与偶函数的和。例：y=x+1，y=x+x^2;
（2）指数函数、对数函数。例：y=a^x（a>0且a≠1），y=lnx，y=lgx。
（3）某些幂函数。例：y=√x（注：y=“x的算术平方根”）。
五、复合函数的奇偶性
设复合函数u(x)=f(g(x))，定义域非空且关于原点对称，则有：
（1）f(x)、g(x)都为奇函数时，u(x)=f(g(x))为奇函数。
【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-u(x)。
（2）f(x)、g(x)都为偶函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。
【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。
（3）f(x)为奇函数，g(x)为偶函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。
【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。
（4）f(x)为偶函数，g(x)为奇函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。
【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=u(x)。
【注】根据上面四种复合函数的奇偶性，可以概括地得到如下结论：只有内外层的所有函数都为奇函数时，复合后的函数才为奇函数。否则，复合后的函数都是偶函数。
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